에너지시스템 최적화/게임이론 강의: 3) Desirable properties of market-clearing mechanisms
이 포스팅은, Technical University of Denmark의 박사과정 과목 “Advanced Optimization and Game Theory for Energy Systems” (Prof. Jalal Kazempour) 의 3강을 필자가 요약한 내용이다.
Market clearing mechanism이 추구하는 4가지 성질들
1강에서는 market clearing이 social welfare를 최대화하는 최적화 문제의 풀이 결과임을 보였고, 2강에서는 최적화 결과가 Nash 균형이므로 어떤 참가자도 해당 결과를 받아들일 것임을 보였다.
이는 market clearing mechanism이 ‘market efficiency’ 성질을 충족한다고도 볼 수 있다.
Market clearing mechanism이 추구하는 성질은 market efficiency를 포함해 4개가 있다.
1) Market efficiency : Social welfare가 최대화되고, 각 참가자들이 받아들일 수 있는 결과가 도출된다.
2) Incentive compatibility : 각 참가자들이 자신의 정보를 왜곡 없이 그대로 제공하는 것이 각자에게 최선임을 의미한다. 이를테면 어떤 발전기의 발전단가가 MWh당 12달러일 경우, offering을 MWh당 12달러보다 높은 값이 아닌 12달러 그대로 하는 것이 본인에게 있어 최선의 전략인 경우를 말한다.
여기서 offering을 ‘일부러’ 발전단가보다 높이 불러 (즉 거짓 정보를 제공해서) 수익 증대를 추구하는 것을 ‘전략적인 (strategic)’ 행동이라 하며, ‘exercising market power’라는 표현도 쓴다.
3) Cost recovery : 모든 참가자들이 최소한 각자의 operational cost는 건질 수 있음을, 즉 모든 참가자들에 대해 각자의 non-negative profit이 보장됨을 의미한다. (단, 이는 capital cost 회수 가능 여부와는 무관하다)
4) Revenue adequacy : Market operator가 operation 수행 시 최소한 손해는 보지 않음을 의미한다.
LMP-based market에서 충족되는 성질들은?
안타깝게도, 위 4개 성질들을 ‘전부 다’ 충족하는 것은 불가능하다 (Hurwicz theorem으로 증명됨).
그렇다면 1강부터 설명한 LMP (Local Marginal Price) based market에서는 위 4가지 성질들 중 어떤 성질이 충족되고 어떤 성질은 충족되지 않을까?
충족되지 않는 성질은 incentive compatibility와 market efficiency이다.
극단적인 예로 발전기와 수요처가 하나씩인 시장이 있다고 하자. 이 때 수요처의 bid price를 발전기가 알고 있을 경우, 발전기는 offer price를 자신의 발전단가가 아니라 수요처의 bid price로 제시하는 ‘strategic offering’ 을 할 것이다. 따라서 incentive compatibility가 깨진다.
이러한 strategic offering을 할 경우 market-clearing price는 이전과 달라진다. 이전에는 모든 발전기가 offer price를 각자의 발전단가로 제시했고 그 결과 social welfare가 최대화되었으나, price가 달라지므로 더 이상 social welfare가 최대화되지 않는다. 따라서 market efficiency도 깨진다.
충족되는 성질은 revenue adequacy와 cost recovery이다. (단, cost recovery 충족은 뒤에서 볼 unit commitment (UC) 제약을 고려하지 않았을 때 성립한다.)
Unit commitment 제약을 고려한 market clearing
1강의 최적화 문제에서는 발전기의 ramping limit, 최소부하, 시동비용, 최소기동유지시간 및 최소정지유지시간 등의 unit commitment (UC) 제약들을 고려하지 않았다.
UC 제약을 추가하면 어떻게 될까? Ramping limit을 제외한 나머지 제약들이 이진변수 (binary variable) 들을 포함하므로 UC 제약을 문제에 추가하면 mixed-integer 문제가 된다. Mixed-integer 문제에서는 dual variable을 계산할 수 없으므로, market clearing price를 도출할 수 없다 (discrete feasible space에 대해서 sensitivity를 정의하기 곤란함)
실제 적용에서는, 우선 UC 조건을 고려하는 문제를 풀어 이진변수들의 값을 얻고, 해당 이진변수들 값을 고정한 상태에서 다시 문제를 풀어 dual variable들을 계산한다. 미국에서는 independent system operator (ISO) 가 각 발전기 별 UC 제약들을 받아서 UC 문제를 푼다.
단, 이진변수의 값을 고정하면 market clearing price 결정에 (이진변수로만 반영할 수 있는) 시동비용 정보를 반영할 수 없다. 시동비용도 operation cost이므로, 이는 cost recovery 성질을 충족하지 못함을 의미한다. 시동비용의 비중이 큰 원자력/ 석탄화력 발전소에게 있어 이는 중요한 이슈이다.
이 때문에 uplift mechanism 등의 side payment를 운용하여 cost recovery를 보장할 수 있도록 한다.
UC 제약에 대해 참고하면 좋은 문헌들
UC 제약은 다수의 이진변수를 포함하므로 최적화 문제 풀이 시간을 크게 증가시키거나 심지어는 현실적인 시간 내에 풀리지 않게 (intractable) 만드는 주범이다. 이 때문에 UC 제약을 다루는 데 대한 연구들이 수행되어 왔다.
참고할 만한 문헌들은 아래와 같다.
1) A computationally efficient mixed-integer linear formulation for the thermal unit commitment problem
2) Tight Mixed Integer Linear Programming Formulations for the Unit Commitment Problem
3) Unit Commitment in Electric Energy Systems
4) Representing Operational Flexibility in Generation Expansion Planning Through Convex Relaxation of Unit Commitment
01) Market clearing as an optimization problem
02) Market clearing as an equilibrium problem
03) Desirable properties of market-clearing mechanisms
04) Market clearing using a cooperative game approach
05) Stochastic market clearing
06) Robust approaches for market clearing
07) Bilevel programming in energy systems
08) Optimization problems with decomposable structure
09) Benders’ decomposition: Theory
10) Benders’ decomposition: Applications
11) Augmented Lagrangian relaxation
12) Variants of ADMM and applications